Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

${\displaystyle x+2y+3z=3}$

${\displaystyle 2x+3y+2z=3}$

${\displaystyle 2x+y+2z=5}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&3&3\\2&3&2&3\\2&1&2&5\\\end{array}}\right]}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&3&3\\0&-1&-4&-3\\2&1&2&5\\\end{array}}\right]}$ B2 - 2.B1

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&3&3\\0&-1&-4&-3\\0&-3&-4&-1\\\end{array}}\right]}$ B3 - 2.B1

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&3&3\\0&-1&-4&-3\\0&0&8&8\\\end{array}}\right]}$ B3 - 3.B2

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&3&3\\0&1&4&3\\0&0&1&1\\\end{array}}\right]}$ 1/8.B3 dan -B2

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&3&3\\0&1&0&-1\\0&0&1&1\\\end{array}}\right]}$ B2 - 4.B3

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&0&0\\0&1&0&-1\\0&0&1&1\\\end{array}}\right]}$ B1 - 3.B3

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&2\\0&1&0&-1\\0&0&1&1\\\end{array}}\right]}$ B1 - 2.B2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)

Maka didapatkan nilai dari ${\displaystyle x=2}$, ${\displaystyle y=-1}$,dan ${\displaystyle z=1}$

Transpose Matriks

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-5&1\\-1&3&3\\5&4&8\\\end{bmatrix}}}$ ditranspose menjadi A^T = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-1&5\\-5&3&4\\1&3&8\\\end{bmatrix}}}$

B = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&5&7\\9&5&7&4\\4&1&5&3\\\end{bmatrix}}}$ ditranspose menjadi B^T = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&4\\3&5&1\\5&7&5\\7&4&3\\\end{bmatrix}}}$

1.${\displaystyle ((A)^{T})^{T}=A}$

2.${\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}$ dan ${\displaystyle (A-B)^{T}=A^{T}-B^{T}}$

3.${\displaystyle (kA)^{T}=kA^{T}}$ di mana k adalah skalar

4.${\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}$

Determinan

Orde 2x2

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}}$ tentukan determinan A

det(A) = ad - bc

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\4&5\\\end{bmatrix}}}$ tentukan determinan A

det(A) = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\4&5\\\end{bmatrix}}}$ = 1x5 - 4x2 = -3

Orde 3x3

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

• Dengan Minor dan Kofaktor
• Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
• Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$ tentukan determinan A

M₁₁ = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$ = detM = a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂

c₁₁ = (-1)¹⁺¹M₁₁ = (-1)¹⁺¹a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂

${\displaystyle {\begin{bmatrix}+&-&+&-&+&\cdots \\-&+&-&+&-&\cdots \\+&-&+&-&+&\cdots \\-&+&-&+&-&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\\end{bmatrix}}}$

M₃₂ = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\\\end{bmatrix}}}$ = detM = a₁₁a₂₃ - a₁₃a₂₁

c₃₂ = (-1)³⁺²M₃₂ = (-1)³⁺² x a₁₁a₂₃ - a₁₃a₂₁

det(A) = a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&4\\3&2&1\\\end{bmatrix}}}$ tentukan determinan A dengan metode Minor dan kofaktor

c₁₁ = (-1)¹⁺¹${\displaystyle {\begin{bmatrix}5&4\\2&1\\\end{bmatrix}}}$ = 1 (-3) = -3

c₁₂ = (-1)¹⁺²${\displaystyle {\begin{bmatrix}4&4\\3&1\\\end{bmatrix}}}$ = -1 (-8) = 8

c₁₃ = (-1)¹⁺³${\displaystyle {\begin{bmatrix}4&5\\3&2\\\end{bmatrix}}}$ = 1 (-7) = -7

det(A) = 1 (-3) + 2 (8) + 3 (-7) = -8

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$

det(A) = a₁₁${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$ - a₁₂${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$ + a₁₃${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{bmatrix}}}$

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&4\\3&2&1\\\end{bmatrix}}}$ tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama

det(A) = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&4\\3&2&1\\\end{bmatrix}}}$ = 1${\displaystyle {\begin{bmatrix}5&4\\2&1\\\end{bmatrix}}}$ - 2${\displaystyle {\begin{bmatrix}4&4\\3&1\\\end{bmatrix}}}$ + 3${\displaystyle {\begin{bmatrix}4&5\\3&2\\\end{bmatrix}}}$ = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$

det(A) = a₁₁${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$ - a₂₁${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$ + a₃₁${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{bmatrix}}}$

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₂₁(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₃₁(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₂₃a₃₁ + a₃₁a₂₁a₃₂ - a₂₂(a₃₁)² - (a₂₁)²a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&4\\3&2&1\\\end{bmatrix}}}$ tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama

det(A) = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&4\\3&2&1\\\end{bmatrix}}}$ = 1${\displaystyle {\begin{bmatrix}5&4\\2&1\\\end{bmatrix}}}$ - 4${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3\\2&1\\\end{bmatrix}}}$ + 3${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3\\5&4\\\end{bmatrix}}}$ = 1(-3) - 4(-4) + 3(-7) = -8

Metode Sarrus

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}}$ tentukan determinan A

detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&4\\3&2&1\\\end{bmatrix}}}$ tentukan determinan A dengan metode sarrus

det(A) = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3&1&2\\4&5&4&4&5\\3&2&1&3&2\\\end{bmatrix}}}$ = (1x5x1 + 2x4x3 + 3x4x2) - (3x5x3 + 2x4x1 + 1x4x2) = 53 - 61 = -8

Adjoint Matriks (Orde 3x3)

Bila ada sebuah matriks A_3x3

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&2&-1\\1&6&3\\2&4&0\\\end{bmatrix}}}$

Kofaktor dari matriks A adalah

C₁₁ = -12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -8

C₂₁ = -4 C₂₂ = 2 C₂₃ = -8

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 8

maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-12&6&-8\\-4&2&-8\\12&-10&8\\\end{bmatrix}}}$

untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom

adj(A) = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}-12&-4&12\\6&2&-10\\-8&-8&8\\\end{bmatrix}}}$

Matriks Balikan (Invers)

Orde 2x2

JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I, maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan ${\displaystyle B=A^{-1}}$ ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan ${\displaystyle A=B^{-1}}$. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Matriks A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}}$ dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0

Dengan Rumus =

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {d}{ad-bc}}&-{\frac {b}{ad-bc}}\\-{\frac {c}{ad-bc}}&{\frac {a}{ad-bc}}\\\end{bmatrix}}}$

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan ${\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$

Contoh 1: Matriks

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-5\\-1&3\\\end{bmatrix}}}$ dan B = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\1&2\\\end{bmatrix}}}$

AB = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-5\\-1&3\\\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\1&2\\\end{bmatrix}}}$ = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}$ = I (matriks identitas)

BA = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\1&2\\\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-5\\-1&3\\\end{bmatrix}}}$ = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}$ = I (matriks identitas)

Maka dapat dituliskan bahwa ${\displaystyle B=A^{-1}}$ (B Merupakan invers dari A)

Contoh 2: Matriks

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\\\end{bmatrix}}}$ dan B = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&5\\3&4\\\end{bmatrix}}}$

AB = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\\\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&5\\3&4\\\end{bmatrix}}}$ = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&4\\6&8\\\end{bmatrix}}}$

BA = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&5\\3&4\\\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\\\end{bmatrix}}}$ = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}17&21\\15&19\\\end{bmatrix}}}$

Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.

Contoh 3: Matriks

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\5&2\\\end{bmatrix}}}$

Tentukan Nilai dari A⁻¹

Jawab: ${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{(3)(2)-(5)(1)}}{\begin{bmatrix}2&-1\\-5&3\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{6-5}}{\begin{bmatrix}2&-1\\-5&3\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{1}}{\begin{bmatrix}2&-1\\-5&3\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-5&3\\\end{bmatrix}}}$

Contoh 4: Matriks

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&3\\\end{bmatrix}}}$, B = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&2\\2&2\\\end{bmatrix}}}$, AB = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}7&6\\9&8\\\end{bmatrix}}}$

Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}3&-2\\-1&1\\\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle B^{-1}={\begin{bmatrix}1&-1\\-1&{\frac {3}{2}}\\\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle (AB)^{-1}={\begin{bmatrix}4&-3\\-{\frac {9}{2}}&7\\\end{bmatrix}}}$

Maka

${\displaystyle B^{-1}A^{-1}={\begin{bmatrix}1&-1\\-1&{\frac {3}{2}}\\\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&-2\\-1&1\\\end{bmatrix}}}$ = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}4&-3\\-{\frac {9}{2}}&7\\\end{bmatrix}}}$

Ini membuktikan bahwa ${\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$

Orde 3x3

Umum

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&5&5\\-1&-1&0\\2&4&3\\\end{bmatrix}}}$

Tentukan Nilai dari A⁻¹

kemudian hitung kofaktor dari matriks A

C₁₁ = -3 C₁₂ = 3 C₁₃ = -2

C₂₁ = 5 C₂₂ = -7 C₂₃ = 6

C₃₁ = 5 C₃₂ = -5 C₃₃ = 4

menjadi matriks kofaktor

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-3&3&-2\\5&-7&6\\5&-5&4\\\end{bmatrix}}}$

cari adjoint dari matriks kofaktor tadi dengan mentranspose matriks kofaktor di atas, sehingga menjadi

${\displaystyle adj(A)={\begin{bmatrix}-3&5&5\\3&-7&-5\\-2&6&4\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}adj(A)}$

dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matriks A

${\displaystyle det(A)=2}$

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}adj(A)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-3&5&5\\3&-7&-5\\-2&6&4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-{\frac {3}{2}}&{\frac {5}{2}}&{\frac {5}{2}}\\{\frac {3}{2}}&-{\frac {7}{2}}&-{\frac {5}{2}}\\-1&3&2\\\end{bmatrix}}}$

Bentuk ${\displaystyle AI->IA^{-1}}$

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&5&5\\-1&-1&0\\2&4&3\\\end{bmatrix}}}$

Tentukan Nilai dari A⁻¹

Diawali dengan ${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|rrr}1&5&5&1&0&0\\-1&-1&0&0&1&0\\2&4&3&0&0&1\\\end{array}}\right]}$

Operasikan Matriks tersebut

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|rrr}1&5&5&1&0&0\\0&4&5&1&1&0\\2&4&3&0&0&1\\\end{array}}\right]}$ B2 + B1

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|rrr}1&5&5&1&0&0\\0&4&5&1&1&0\\0&-6&-7&-2&0&1\\\end{array}}\right]}$ B3 - 2.B1

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|rrr}1&5&5&1&0&0\\0&4&5&1&1&0\\0&0&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{2}}&1\\\end{array}}\right]}$ B3 + 3/2.B1

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|rrr}1&5&5&1&0&0\\0&1&{\frac {5}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&0\\0&0&1&-1&3&2\\\end{array}}\right]}$ 1/4.B2, 2.B3

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|rrr}1&5&5&1&0&0\\0&1&0&{\frac {3}{2}}&-{\frac {7}{2}}&-{\frac {5}{2}}\\0&0&1&-1&3&2\\\end{array}}\right]}$ B2 - 5/4.B3

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|rrr}1&5&0&6&-15&-10\\0&1&0&{\frac {3}{2}}&-{\frac {7}{2}}&-{\frac {5}{2}}\\0&0&1&-1&3&2\\\end{array}}\right]}$ B1 - 5.B3

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|rrr}1&0&0&-{\frac {3}{2}}&{\frac {5}{2}}&{\frac {5}{2}}\\0&1&0&{\frac {3}{2}}&-{\frac {7}{2}}&-{\frac {5}{2}}\\0&0&1&-1&3&2\\\end{array}}\right]}$ B1 - 5.B2

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}-{\frac {3}{2}}&{\frac {5}{2}}&{\frac {5}{2}}\\{\frac {3}{2}}&-{\frac {7}{2}}&-{\frac {5}{2}}\\-1&3&2\\\end{bmatrix}}}$