Integral

Integral

Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x), antara dua titik a dan b.

Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah ${\displaystyle \int \,}$, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).^[1]

Integral tertentu

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,,}$

Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.

${\displaystyle a=x_{0}\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq x_{n}=b.\,\!}$

Himpunan ${\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},x_{n}\}\,}$ tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval ${\displaystyle [x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\ldots ,[x_{n-1},x_{n}]}$. Lebar subinterval pertama [x₀,x₁] kita nyatakan sebagai Δx₁, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δx_i = x_i - x_{i - 1}. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang t_i. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (t_i, ƒ(t_i)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(t_i)· Δx_i dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:

${\displaystyle S_{p}=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}}$

Penjumlahan S_p disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi ${\displaystyle \lVert P\rVert }$ mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.^[19]

Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}}$ apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi ${\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ di sepanjang [a,b] dengan ${\displaystyle \lVert P\rVert <\delta }$ dan pilihan t_i apapun pada [x_{k - 1}, t_i], kita dapatkan

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}-I\right|<\epsilon .}$

${\displaystyle \lim _{\lVert P\rVert \to 0}\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}=I=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x=I=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Contoh

Sebagai contohnya, apabila hendak menghitung integral tertentu ${\displaystyle \int _{0}^{b}x\,dx}$, yakni mencari luas daerah A di bawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu ${\displaystyle \int _{0}^{b}x\,dx}$ sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah ${\displaystyle \lim _{\lVert P\rVert \to 0}\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}}$

${\displaystyle P=\{0,{\frac {b}{n}},{\frac {2b}{n}},{\frac {3b}{n}},\ldots ,{\frac {nb}{n}}\}}$ dan ${\displaystyle t_{i}={\frac {ib}{n}}}$, sehingga:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{b}f(x)\,dx&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x\\&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {ib}{n}}.{\frac {b}{n}}\\&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {ib^{2}}{n^{2}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {b^{2}}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}i\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {b^{2}}{n^{2}}}.{\frac {n(n+1)}{2}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {b^{2}}{2}}(1+{\frac {1}{n}})\\\end{aligned}}}$

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi ${\displaystyle \lVert P\rVert }$ mendekati 0, maka didapatkan:

${\displaystyle \int _{0}^{b}f(x)\,dx=A={\frac {b^{2}}{2}}}$

Integral tak tentu

Apabila

${\displaystyle F'\!(x)={\frac {d}{dx}}F(x)=f(x).}$

Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}$

Misalkan terdapat sebuah fungsi ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

${\displaystyle \int x^{2}dx={\frac {1}{3}}x^{3}+C}$

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$ adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu:${\displaystyle \int f(x)dx}$ adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.